Fa gerenda teherbírás kalkulátor: képlet, táblázat és számítás
Egy 10×20 cm keresztmetszetű, C24 minőségű fenyő gerenda kétvégén alátámasztva 3 méteres fesztávon egyenletesen megoszló terhelésből nagyjából 600–700 kg/m terhet visel el biztonságosan – ám a pontos érték a fesztávtól, a keresztmetszettől, a fa szilárdsági osztályától és a megengedett lehajlástól függ. A teherbírás mindig két feltétel közül a szigorúbbal számol: a hajlítószilárdsággal és a lehajlás korlátjával. Tartószerkezeti döntést csak méretezéssel, statikus bevonásával szabad meghozni.
Mitől függ a fa gerenda teherbírása?
A fa gerenda teherbírását négy fő tényező határozza meg:
- Keresztmetszet (b × h): a magasság (h) sokkal fontosabb, mint a szélesség, mert a teherbírás a magasság négyzetével, a lehajlás pedig a magasság köbével arányos.
- Fesztáv (L): a két alátámasztás közötti szabad hossz. A teherbírás a fesztáv négyzetével, a lehajlás a fesztáv negyedik hatványával romlik.
- Fa szilárdsági osztálya: a szerkezeti fenyő tipikusan C16, C24 vagy C30 (a szám a hajlítószilárdság N/mm²-ben, karakterisztikus értéken).
- Terhelés típusa és megengedett lehajlás: egyenletesen megoszló vagy koncentrált (pontszerű) teher, valamint az elfogadható belógás mértéke.
A számítás módja – képletek
Egy kétvégén felfekvő (csuklós) gerendánál, egyenletesen megoszló q terhelés esetén két ellenőrzést kell elvégezni.
1. Hajlítási ellenőrzés (szilárdság)
A maximális hajlítónyomaték a tartó közepén keletkezik:
M = q · L² / 8
A téglalap keresztmetszet keresztmetszeti tényezője (szekciómodulusa):
W = b · h² / 6
A feltétel: a hajlítófeszültség ne lépje túl a megengedett értéket:
σ = M / W ≤ fm,d
Ebből a megengedett megoszló teher szilárdságra:
qszil = 8 · W · fm,d / L²
Ahol fm,d a tervezési hajlítószilárdság. C24 fenyőnél a karakterisztikus érték fm,k = 24 N/mm²; a tervezési értéket a kmod módosító tényezővel és a γM = 1,3 anyagbiztonsági tényezővel képezzük. Közepes tartósságú teher és 1. használati osztály mellett kmod ≈ 0,8, így fm,d ≈ 0,8 · 24 / 1,3 ≈ 14,8 N/mm².
2. Lehajlási (használhatósági) ellenőrzés
Az egyenletes teher okozta lehajlás a tartó közepén:
δ = 5 · q · L⁴ / (384 · E · I)
A téglalap keresztmetszet másodrendű nyomatéka:
I = b · h³ / 12
A megengedett lehajlás gyakran a fesztáv 1/300-a (belső padlófödémnél szigorúbb, tetőnél lazább érték is előfordul). E ≈ 11 000 N/mm² C24 fenyőnél (átlagos rugalmassági modulus). A lehajlásra megengedett teher L/300 korlátnál:
qlehajl = 384 · E · I / (1500 · L³)
A tényleges teherbírás a két érték közül a kisebb. Rövid fesztávon általában a szilárdság, hosszabb fesztávon a lehajlás a mértékadó.
Átváltó / teherbírás táblázat – példa
Az alábbi tájékoztató értékek egy 10×20 cm-es, C24 fenyő gerendára vonatkoznak, kétvégén felfekvő tartónál, egyenletesen megoszló terhelésnél, L/300 lehajláskorláttal. Az értékek a fenti képletekkel számítottak, kerekítve, és csak becslést adnak.
| Fesztáv (m) | Szilárdságra (kg/m) | Lehajlásra (kg/m) | Mértékadó teher (kg/m) |
|---|---|---|---|
| 2,0 | ~2010 | ~2400 | ~2000 |
| 3,0 | ~890 | ~700 | ~700 |
| 4,0 | ~500 | ~300 | ~300 |
| 5,0 | ~320 | ~150 | ~150 |
Jól látszik, hogy 3 méteres fesztávtól már a lehajlás lesz a szűk keresztmetszet, nem a törés elleni biztonság.
Keresztmetszeti tényezők gyakori méretekre
A W (keresztmetszeti tényező) és I (másodrendű nyomaték) a saját számításhoz:
| Keresztmetszet b×h (cm) | W = b·h²/6 (cm³) | I = b·h³/12 (cm⁴) |
|---|---|---|
| 10×15 | 375 | 2813 |
| 10×20 | 667 | 6667 |
| 12×22 | 968 | 10648 |
| 15×20 | 1000 | 10000 |
| 16×24 | 1536 | 18432 |
Figyelem az egységekre: a képletekben mm-t érdemes használni (1 cm = 10 mm), a feszültséget N/mm²-ben, a terhet N/mm-ben. 1 kN/m ≈ 102 kg/m.
Számítási példa lépésről lépésre
Adott: 10×20 cm C24 gerenda, L = 3,0 m (3000 mm).
- W = 100 · 200² / 6 = 666 667 mm³; I = 100 · 200³ / 12 = 6,667×10⁷ mm⁴.
- Szilárdságra: q = 8 · 666 667 · 14,8 / 3000² ≈ 8,77 N/mm = 8,77 kN/m ≈ 890 kg/m.
- Lehajlásra (L/300 = 10 mm): q = 384 · 11 000 · 6,667×10⁷ / (1500 · 3000³) ≈ 6,95 kN/m ≈ 710 kg/m.
- Mértékadó: a kisebb, azaz kb. 700 kg/m egyenletesen megoszló teher.
Koncentrált (középen ható) erő esetén más képletek érvényesek: M = F·L/4 és δ = F·L³/(48·E·I). Ilyenkor a fenti táblázat nem használható közvetlenül.
Fontos korlátok és biztonság
Az itt közölt értékek egyszerűsített, tájékoztató számítások, amelyek nem veszik figyelembe minden esetben a csomópontokat, a fa saját súlyát, a csavarodást, a görbeséget, a nedvességet, a szélzugot vagy a dinamikus (pl. rezgő) hatásokat. A valós méretezéshez az Eurocode 5 (MSZ EN 1995) szerint kell eljárni, a helyi terhek (hó, szél, hasznos teher) figyelembevételével. Teherhordó szerkezetnél – födém, tetőszék, áthidaló – mindig kérj statikus tervezőt.
Gyakori kérdések (GYIK)
Mennyi terhet bír el egy 10×20 cm-es gerenda?
C24 fenyőnél, 3 méteres kétvégi alátámasztásnál, egyenletes teher és L/300 lehajlás mellett kb. 700 kg/m a mértékadó érték. 2 m-nél ez akár ~2000 kg/m, 5 m-nél viszont csak ~150 kg/m – a fesztáv döntő.
Miért nem elég csak a törést (szilárdságot) ellenőrizni?
Mert a gerenda sokszor előbb belóg a megengedettnél, mint hogy eltörne. 3 méteres fesztávtól a lehajlás lesz a mértékadó, ezért mindig a két számításból a kisebb terhet kell figyelembe venni.
Mennyivel bír többet egy magasabb gerenda?
A szilárdság a magasság négyzetével, a lehajlásra vonatkozó merevség a magasság köbével nő. Ha 20 cm helyett 24 cm magas a gerenda, a teherbírás kb. 44%-kal, a lehajlás elleni merevség kb. 73%-kal javul, változatlan szélesség mellett.
Számít a fa minősége?
Igen. C16-ról C24-re váltva a hajlítószilárdság 50%-kal nő, a rugalmassági modulus is nagyobb, így mind a törésbiztonság, mind a lehajlás javul. Az osztályt a fa bélyegzése (CE-jelölés) mutatja.
Ez a cikk tájékoztató jellegű, és nem helyettesíti a szakszerű statikai méretezést. Teherhordó szerkezet tervezéséhez fordulj építőmérnökhöz vagy statikushoz.